Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸相交于B、C兩點，動點D在線段OB上，將線段DC繞著點D順時針旋轉90°得到DE，過點E作直線l⊥x軸于H，過點C作CF⊥y軸，交直線l于F，設點D的橫坐標為m．

（1）請直接寫出點B、C的坐標；

（2）當點E落在直線BC上時，求tan∠FDE的值；

（3）對于常數m，探究：在直線l上是否存在點G，使得∠CDO=∠DFE+∠DGH？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（5，0），C（0，3）；（2）；（3）當0＜m＜3時，存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，此時G（3+m，）或（3+m，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）分別令x=0和y=0，即可求得；

（2）證得四邊形COHF是矩形，然后證得△OCD≌△HDE，從而證得△DHF是等腰直角三角形，得出∠HDE+∠FDE=45°，由∠OCD+∠ECF=45°，得出∠ECF=∠FDE，進一步得出∠OBC=∠FDE，解直角三角形即可求得tan∠OBC==，從而得出tan∠FDE=．

（3）根據三角形全等的性質要使∠CDO=∠DFE+∠DGH，只要△EDF∽△EGD，所以只要，即DE2=EFEG，由（2）可知：DE2=CD2=OD2+OC2=m2+32，EF=3﹣m，然后分三種情況討論即可求得．

試題解析：（1）∵直線與x軸、y軸相交于B、C兩點，∴令y=0，則0=，解得x=5，令x=0，則y=3，∴B（5，0），C（0，3）；

（2）如圖1，∵∠CDE=90°，∴∠CDO+∠EDH=90°，∵∠CDO+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠EDH，在△OCD和△HDE中，∵∠OCD=∠HDE，∠COD=∠DHE=90°，CD=DE，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH=OC=3，∵直線l⊥x軸于H，CF⊥y軸，∴四邊形COHF是矩形，∴FH=OC=3，∴DH=HF，∴∠HDF=45°，即∠HDE+∠FDE=45°，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠DCE=45°，∴∠OCD+∠ECF=45°，∴∠ECF=∠FDE，∵∠OBC=∠ECF，∵tan∠OBC==，∴tan∠FDE=．

（3）如圖2，由（2）可知△OCD≌△HDE，∴∠CDO=∠DEH，要使∠CDO=∠DFE+∠DGH，只要∠DEH=∠DFE+∠DGH，在△DEF中，∠DEH=∠EDF+∠DFE，∴只要∠EDF=∠DGF，∵∠FED=∠GED，只要△EDF∽△EGD，∴只要，即DE2=EFEG，由（2）可知：DE2=CD2=OD2+OC2=m2+32，EF=3﹣m，∴當0＜m＜3時，EG==，HO=3+m，此時，G（3+m，），根據對稱可知，當0＜m＜3時，此時還存在G′（3+m，﹣）；

當m=3時，此時點E和點F重合，∠DFE不存在，當3≤m≤5時，點E在F的上方，此時，∠DFE＞∠DEF，此時不存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，綜上，當0＜m＜3時，存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，此時G（3+m，）或（3+m，﹣）．