Question

已知：如圖，BC為半圓的直徑，O為圓心，D是弧AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=

5

2

，CD=

5

2

，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的條件下，求弦AB的長．

Answer 1

（1）證明：∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAE=∠BDC=90°．
∵D是弧AC的中點，
∴∠ABE=∠DBC．
∴△ABE∽△DBC．

（2）在RT△DCB中，
∵∠BDC=90°，BC=

5

2

，CD=

5

2

，
∴BD=

5

．
∴sin∠DCB=BD：BC=

2 5

5

．
∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB．
∴sin∠AEB=

2 5

5

．

（3）∵∠AEB=∠DEC，
∴sin∠DEC=

2 5

5

．
∴EC=1.25，DE=

5

4

，BD=

5

．
BE=BD-DE=

3 5

4

，AB=

3 5

4

×sin∠AEB=1.5．