Question

10．二次函數圖象的頂點在原點O，經過點A（1，$\frac{1}{4}$）；點F（0，1）在y軸上．直線y=-1與y軸交于點H．
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-1交于點M，求證：△PFM為等腰三角形；
（3）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-1交于點M，作PQ⊥FM交FM于點Q，當點P從橫坐標2015處運動到橫坐標2016處時，請直接寫出點Q運動的路徑長．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=ax²，將點A的坐標代入求得a的值即可；
（2）由兩點間的距離公式可求得PM和PF的長，從而得到PM=PF；
（3）由等腰三角形的性質可知點Q是FM的中點，從而得到OQ是△FHM的中位線，由三角形中位線的性質可求得當點P的橫坐標為2015時，OQ=1007.5；當點P的橫坐標為2016時，OQ=1008，故此可求得點Q運動的路徑長．

解答 解：（1）二次函數解析式為：y=ax²，
∵經過點A（1，$\frac{1}{4}$），
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴二次函數的解析式y=$\frac{1}{4}$x²．
（2）∵點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-1交于點M，
設P（x，$\frac{1}{4}$x²），則M（x，-1），
∴PM=$\frac{1}{4}$x²+1．
由兩點間的距離公式可知：PF=$\sqrt{（x-0）^{2}+（\frac{1}{4}{x}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{16}{x}^{2}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{2}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}{x}^{2}+1$．
∴PF=PM 即△PFM為等腰三角形．
（3）如圖所示：過點P作PQ⊥FM，垂足為Q．

∵PF=PM，PQ⊥FM，
∴FQ=QM．
∵OF=OH，FQ=QM，
∴OQ∥HM，且OQ=$\frac{1}{2}$MH．
當點P的橫坐標為2015時，OQ=$\frac{1}{2}$HM=$\frac{1}{2}×2015$=1007.5．
當點P的橫坐標為2016時，OQ=$\frac{1}{2}$HM=$\frac{1}{2}×2016$=1008．
∴點Q運動的路徑長=1008-1007.5=0.5．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用、等腰三角形的性質、三角形中位線的性質，證得OQ是△FHM的中位線，利用三角形的中位線的性質求得當點P的橫坐標為2015時和當點P的橫坐標為2016時OQ的長是解題的關鍵．