Question

18．如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（5，0），∠DAB=60°，AD=2．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若將?ABCD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到?AB₁C₁D₁，點(diǎn)D₁落在y軸上，AB₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求點(diǎn)C₁的坐標(biāo)及C₁C的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥OB于M，求出∠ADM=30°，得出AM=$\frac{1}{2}$AD=1，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，求出OM=2，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作C₁G⊥x軸于G，連接C₁C，求出C₁G=3$\sqrt{3}$，得出點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（2，3$\sqrt{3}$）；證出點(diǎn)D在C₁G上，且C₁D⊥CD，₁D=2$\sqrt{3}$，由勾股定理即可求出C₁C的長(zhǎng)．

解答 解：（1）作DM⊥OB于M，如圖1所示：
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=1，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，
∵OA=1，
∴OM=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{3}$）；
（2）作C₁G⊥x軸于G，連接C₁C，如圖2所示：
∵AD=2，AB₁=4，
∴DB₁=2=AD=C₁B₁，
∴C₁D=2DG=2$\sqrt{3}$，
∴C₁G=3$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（2，3$\sqrt{3}$）；
∵點(diǎn)D和點(diǎn)C₁的橫坐標(biāo)都是2，
∴點(diǎn)D在C₁G上，且C₁D⊥CD，C₁D=2$\sqrt{3}$，
∴C₁C=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．