Question

【題目】以坐標原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點A，B．

（1）如圖一，動點P從點A處出發，沿x軸向右勻速運動，與此同時，動點Q從點B處出發，沿圓周按順時針方向勻速運動．若點Q的運動速度比點P的運動速度慢，經過1秒后點P運動到點（2，0），此時PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ．求∠QOP的大小；
（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，點P停留在點（2，0）處不動，求點Q再經過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖一，連接AQ．

由題意可知：OQ=OA=1．

∵OP=2，

∴A為OP的中點．

∵PQ與⊙O相切于點Q，

∴△OQP為直角三角形．

∴ ．

即△OAQ為等邊三角形．

∴∠QOP=60°．

（2）解：由（1）可知點Q運動1秒時經過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度繼續運動，那么再過5秒，則Q點落在⊙O與y軸負半軸的交點處（如圖二）．設直線PQ與⊙O的另外一個交點為D，

過O作OC⊥QD于點C，則C為QD的中點．

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2，

∴QP= ．

∵ ，

∴OC= = ．

∵OC⊥QD，OQ=1，OC= ，

∴QC= = ．

∴QD= ．

【解析】（1）根據切線性質定理，以及OQ與OP之間的關系，可得出∠QOP的度數；（2）根據垂徑定理及勾股定理解決本題即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．