Question

【題目】“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．”這里，根據已學的相似三角形的知識，易證：＝．在圖1這個基本圖形的基礎上，繼續添加條件“如圖2，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F，設＝．”

（1）探究發現：如圖②，若m＝n，點E在線段AC上，則＝　 　；

（2）數學思考：

①如圖3，若點E在線段AC上，則＝　 　（用含m，n的代數式表示）；

②當點E在直線AC上運動時，①中的結論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；

（3）拓展應用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①；②成立，理由見解析；（3）CE＝2或CE＝

【解析】

（1）先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可．

（2）方法和（1）一樣，先用等量代換判斷出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判斷出△ADC∽△CDB即可．

（3）由（2）的結論得出△ADE∽△CDF，判斷出CF=2AE，求出EF，再利用勾股定理，分三種情形分別求解即可．

（1）當m＝n時，即：BC＝AC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝1，

∴＝1，

故答案為1．

（2）①∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝，

∴＝，

故答案為．

②成立．如圖，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

又∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝，

∴＝．

（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，

∵＝＝，

∴＝＝＝，

∴CF＝2AE，

在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，

∴EF＝＝＝2，

①當E在線段AC上時，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，

根據勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍去）

而AC＝＜CE，

∴此種情況不存在，

②當E在AC延長線上時，

在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，

根據勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（+CE）]2＝40，

∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），

③如圖4﹣1，當點E在CA延長線上時，

CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，

根據勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）

即：CE＝2或CE＝．