Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD、DE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣90°=90°，

∴OD⊥BD，

∵OD是⊙O半徑，

∴直線BD與⊙O相切；

（2）解：∵AE是⊙O直徑，

∴∠ADE=90°=∠C，

∴BC∥DE，

∴△ADE∽△ACB，

∴

∵D為AC中點，

∴AD=DC= AC，

∴AE=BE= AB，

DE是△ACB的中位線，

∴AE= AB，DE= BC= ×6=3，

設AD=4a，AE=5a，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=3a=3，

解得：a=1，

∴AE=5a=5，

答：⊙O的直徑是5．

【解析】（1）連接OD、DE，易證∠A=∠ADO，證出∠A+∠CDB=90°，得出∠ADO+∠CDB=90°，可得到OD⊥BD，根據切線的判定定理即可得出結論。
（2）根據圓周角定理得出∠ADE==∠C，從而證得BC∥DE，由平行得三角形相似得出△ADE∽△ACB，得出對應邊成比例，再證明DE是△ACB的中位線，然后根據勾股定理建立方程求出a的值，即可求出圓的直徑。
【考點精析】掌握勾股定理的概念和三角形中位線定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．