Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，點A（0,6），點B在x軸的正半軸上.若點P，Q在線段AB上，且PQ為某個一邊與x軸平行的矩形的對角線，則稱這個矩形為點P，Q的“X矩形”.下圖為點P，Q的“X矩形”的示意圖.

(1)若點B(4,0)，點C的橫坐標為2，則點B，C的“X矩形”的面積為___.

(2)點M，N的“X矩形”是正方形，

①當此正方形面積為4，且點M到y軸的距離為3時，寫出點B的坐標，點N的坐標.

②當此正方形的對角線長度為3，且半徑為r的⊙O與它沒有交點，直接寫出r的取值范圍___.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）①B（6,0），N（1,5）或（5,1）；②0<r<3-或r>

【解析】

（1）根據點A、B的坐標，利用待定系數法可求出直線AB的函數表達式，代入x=2即可求出點C的坐標，再利用矩形的面積公式即可求出點B，C的“X矩形”的面積；

（2）①根據正方形的性質可得出∠ABO=45°，結合點A的坐標可得出點B的坐標及直線AB的函數表達式，由點M到y軸的距離為3可得出點M的坐標，再由正方形的面積結合點M的坐標即可得出點N的坐標，進而可得出經過點N的反比例函數的表達式；

②找出⊙O與點M，N的“X矩形”相交的最小、最大值，由此即可得出結論．

(1)設直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A(0,6)，B(4,0)，

∴

解得：k=-,b=6，

∴y=x+6，

當x=2時，y=3，

∴C(2,3)，

∴點B，C的“X矩形”的面積為：

(30)×(42)=6．

故答案為6；

(2)①如圖：

點M，N的“X矩形”是正方形，

則B(6,0)，

此時直線AB的解析式為y=x+6，

點M到y軸的距離為3，y=3+6=3，

M(3,3)，

正方形面積為4，則邊長為2，

∴N(5,1)或N(1,5)；

②如圖：

∵OA=OB=6，

∴AB=∴OF=3

∵正方形的對角線長度為3，

∴EF=，

∴OE=3-,

同理：根據勾股定理可得OG=

∴0<r<3-或r>