Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點D，且BD=8cm．點M從點A出發，沿AC的方向勻速運動，速度為2cm/秒；同時直線PQ由點B出發，沿BA的方向勻速運動，速度為1cm/秒，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設運動時間為t秒（0＜t＜5）．

（1）當t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？
（2）設四邊形PQCM的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：假設四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，

∴AP：AB=AM：AC，

∵AB=AC，

∴AP=AM，即10﹣t=2t，

解得t= ，

∴當t= s時，四邊形PQCM是平行四邊形

（2）解：∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，

∴ = ，即 = ，

解得BF= t，

∴FD=BD﹣BF=8﹣ t，

又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，

∴y= （PQ+MC）FD= （t+10﹣2t）（8﹣ t）= t2﹣8t+40．

【解析】（1）四邊形PQCM是平行四邊形，得它的對邊平行，進而得到AP=AM，列出關于t的方程，解方程即可求出答案；（2）根據PQ∥AC，可得△PBQ∽△ABC，根據相似三角形形狀相似知道△PBQ為等腰三角形，即PQ=PB=t，再由相似三角形對應高的比等于相似比，用含t的式子就可以表示出FD,AM,CM,最后根據提醒的面積公式就能找出函數關系式。
【考點精析】本題主要考查了函數關系式和等腰三角形的性質的相關知識點，需要掌握用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．