Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且BE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周長是4 ，tanα= ，求四邊形OBEC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，

∴AC⊥BD，

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，

∴四邊形OBEC是矩形；

（2）解：∵菱形ABCD的周長是4 ，

∴AB=BC=AD=DC= ，

∵tanα= ，

∴設CO=x，則BO=2x，

∴x2+（2x）2=（ ）2，

解得：x= ，

∴四邊形OBEC的面積為： ×2 =4．

【解析】（1）利用菱形的對角線互相垂直結合平行線的性質得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，進而求出即可；（2）利用菱形的性質結合勾股定理得出CO，BO的長，進而求出四邊形OBEC的面積．
【考點精析】利用菱形的性質和矩形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．