Question

【題目】如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點M與點C分別是AC與⊙O的交點，點D是MB與⊙O的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若AD=12，AM=MC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】（1）欲證明PD是⊙O的切線，只要證明OD⊥PA即可解決問題；

（2）連接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3，推出OD=3，MC=6，由，可得DP=6，再利用相似三角形的性質求出MD即可解決問題.

（1）如圖，連接OD、OP、CD，

∵，∠A=∠A，

∴△ADM∽△APO，

∴∠ADM=∠APO，

∴MD∥PO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OM，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

∵OP=OP，OD=OC，

∴△ODP≌△OCP，

∴∠ODP=∠OCP，

∵BC⊥AC，

∴∠OCP=90°，

∴OD⊥AP，

∴PD是⊙O的切線；

（2）如圖，連接CD，由（1）可知：PC=PD，

∵AM=MC，

∴AM=2MO=2R，

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

∴R2+122=9R2，

∴R=3，

∴OD=3，MC=6，

∵，

∴DP=6，

∵O是MC的中點，

∴，

∴點P是BC的中點，

∴BP=CP=DP=6，

∵MC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=∠CDM=90°，

在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，

∴BM=6，

∵△BCM∽△CDM，

∴，即，

∴MD=2，

∴．