Question

【題目】如圖，四邊形中的三個頂點在⊙上，是優弧上的一個動點（不與點、重合）．

（1）當圓心在內部，∠ABO＋∠ADO=70°時，求∠BOD的度數；

（2）當點A在優弧BD上運動，四邊形為平行四邊形時，探究與的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）當點A在優弧BD上運動，四邊形為平行四邊形時，點O在∠BAD內部時，+=60°；點O在∠BAD外部時，|-|=60°．

【解析】

（1）連接OA，如圖1，根據等腰三角形的性質得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，然后根據圓周角定理易得∠BOD=2∠BAD=140°；

（2）分點O在∠BAD內部和外部兩種情形分類討論：

①當點O在∠BAD內部時，

首先根據四邊形OBCD為平行四邊形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根據∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，求出∠BOD的度數，進而求出∠BAD的度數；最后根據平行四邊形的性質，求出∠OBC、∠ODC的度數，再根據∠ABC+∠ADC=180°，求出∠OBA+∠ODA等于多少即可．

②當點O在∠BAD外部時：

Ⅰ、首先根據四邊形OBCD為平行四邊形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根據∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，求出∠BOD的度數，進而求出∠BAD的度數；最后根據OA=OD，OA=OB，判斷出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，進而判斷出∠OBA=∠ODA+60°即可．

Ⅱ、首先根據四邊形OBCD為平行四邊形，可得∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC；然后根據∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，求出∠BOD的度數，進而求出∠BAD的度數；最后根據OA=OD，OA=OB，判斷出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，進而判斷出∠ODA=∠OBA+60°即可．

（1）連接OA，如圖1，

∵OA=OB，OA=OD，

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，

∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，即∠BAD=70°，

∴∠BOD=2∠BAD=140°；

（2）①如圖2，

，

∵四邊形OBCD為平行四邊形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，

∴∠BOD+∠BOD＝180°，

∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OBC=∠ODC=180°-120°=60°，

又∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠OBA+∠ODA=180°-（∠OBC+∠ODC）

=180°-（60°+60°）

=180°-120°

=60°

②Ⅰ、如圖3，

，

∵四邊形OBCD為平行四邊形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，

∴∠BOD+∠BOD＝180°，

∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，

∵OA=OD，OA=OB，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA-∠ODA=60°．

Ⅱ、如圖4，

，

∵四邊形OBCD為平行四邊形，

∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝∠BOD，

∴∠BOD+∠BOD＝180°，

∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，

∴∠OAB=∠OAD-∠BAD=∠OAD-60°，

∵OA=OD，OA=OB，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA=∠ODA-60°，

即∠ODA-∠OBA=60°．

所以，當點A在優弧BD上運動，四邊形為平行四邊形時，點O在∠BAD內部時，+=60°；點O在∠BAD外部時，|-|=60°．