Question

【題目】如圖，正方形中，，點是對角線上一點，連接，過點作，交于點，連接，交于點，將沿翻折，得到，連接，交于點，若點是的中點，則的周長是（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖：過E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE．先通過等腰三角形和全等三角形的判定和性質得到FQ=BQ=PE=1；再說明△DEF是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理計算得到DE=EF=；如圖2，由DC//AB可得△DGC∽△FGA，列比例式可求FG和CG的長，從而得EG的長；然后再根據AGHF是等腰直角三角形，求得GH和FH的長；利用DE∥GM證明△DEN∽△MNH，則可得EN=，然后計算出△EMN各邊的長，最后求周長即可．

解：如圖1：過E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連接BE．

∵DC∥AB

∴PQ⊥AB，

∴四邊形ABCD是正方形

∴∠ACD=450

∴△PEC是等腰直角三角形

∴PE=PC.

設PC=x，則PE=x，PD=4-x，EQ=4-x.

∴PD=EQ，

∴∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ.

∴△DPE≌△EQF

∴DE=EF

∵DE⊥EF

∴△DEF是等腰直角三角形

易證△DEC≌△BEC

∴DE=BE

∴EF=BE

∵EQ⊥FB

∴FQ=BQ=BF

∵AB=4，F是AB的中點

∴BF=2

∴FQ=BQ=PE=1

∴CE=，PD=4-1=3

Rt△DAF中，

∴DE=EF=

如圖2：∵DC//AB.

∴△DGC∽△FGA

∴

∴AG=2AG,DG=2FG

∴

∵

∴

∴

連接GM、GN，交EF于H.

∵∠GFE=45°

∴△GHF是等腰直角三角形

∴

由折疊得：GM⊥EF，MH=GH=

∴∠EHM=∠DEF=90°

∴DE∥HM

∴△DEN∽△MNH

∴

∴

∴EN=3NH

∵EN+NH=EH=

∴EN=

∴NH=EH-EN=

在Rt△GNH中，

由折疊得：MN=GN，EM=EG

∴△EMN的周長為．

故選：C．