Question

【題目】（1）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以，為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，，相交于點O.

①如圖1，求證：≌；

②探究：如圖1，________；如圖2，_______；如圖3，_______；

（2）如圖4，已知：，是以為邊向外所作正n邊形的一組鄰邊：，是以為邊向外所作正n邊形的一組鄰邊，，的延長相交于點O.

①猜想：如圖4， （用含n的式子表示）；

②根據圖4證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②120°，90°，72°；（2）①；②見解析.

【解析】

（1）①要證明△ABE≌△ADC，題中△ABD與△ACE均為等邊三角形，容易得出AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，轉換可得∠DAC＝∠BAE，然后利用SAS證明即可；

②如圖1，設AB與CD交于點M，根據①的結論△ABE≌△ADC可得∠ABE=∠ADC，再在△ADM和△BOM中利用三角形的內角和即得∠BOD=∠BAD=60°，進而可求出∠BOC的度數；圖2與圖3的求解仿圖1即可；

（2）欲求∠BOC的度數，可以利用SAS證明△ABE≌△ADC及正n邊形的內角和定理，得出∠BOC+∠DAB＝180°，進一步即可求得∠BOC的度數．

解：（1）①證明：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE，

∴△ABE≌△ADC（SAS）；

②120°，90°，72°．

圖1的求解：如圖1，設AB與CD交于點M，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABE=∠ADC，

∵∠BMO=∠AMD，∴∠BOD=∠BAD=60°，∴∠BOC=120°；

圖2與圖3的求解仿圖1的方法即得.

（2）①．

②如圖4，依題意，知∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內角，AB＝AD，AE＝AC，

∴∠BAD＝∠CAE＝，

∴∠BAD﹣∠DAE＝∠CAE﹣∠DAE，

即∠BAE＝∠DAC，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴∠ABE＝∠ADC，

∵∠ADC+∠ODA＝180°，

∴∠ABO+∠ODA＝180°，

∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°，

∴∠BOC+∠DAB＝180°，

∴∠BOC＝180°﹣∠DAB＝.