Question

【題目】如圖，D是△ABC外接圓上的動點，且B，D位于AC的兩側，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F．BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，FB的延長線交于點P，且PC=PB．

（1）求證：BG∥CD；

（2）設△ABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BDE的度數為20°或40°．

【解析】

（1）PC=PB，得到∠PCB=∠PBC，根據圓內接四邊形的性質，得到∠BAD+∠BCD=180°，根據同角的補角相等得到∠BAD=∠PCB，根據圓周角定理得到∠BAD=∠BFD，等量代換得到∠BFD=∠PCB=∠PBC，即可證明BC∥DF，根據AC是⊙O的直徑，得到

∠ADC=90°，根據BG⊥AD，得到∠ADC=∠AGB，即可證明BG∥CD；

（2）分①當點O在DE的左側和②當點O在DE的右側兩種情況進行討論.

（1）證明：如圖1，

∵PC=PB，

∴∠PCB=∠PBC，

∵四邊形ABCD內接于圓，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠PCB=180°，

∴∠BAD=∠PCB，

∵∠BAD=∠BFD，

∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，

∴BC∥DF，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB=90°，

∴∠ADC=∠AGB，

∴BG∥CD；

（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，

∴四邊形BCDH是平行四邊形，

∴BC=DH，

在Rt△ABC中，∵

∴tan∠ACB=

∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，

∴∠ADB=60°，

∴

①當點O在DE的左側時，如圖2，作直徑DM，連接AM、OH，則∠DAM=90°，

∴∠AMD+∠ADM=90°

∵DE⊥AB，

∴∠BED=90°，

∴∠BDE+∠ABD=90°，

∵∠AMD=∠ABD，

∴∠ADM=∠BDE，

∵

∴DH=OD，

∴∠DOH=∠OHD=80°，

∴∠ODH=20°

∵∠ADB=60°，

∴∠ADM+∠BDE=40°，

∴∠BDE=∠ADM=20°，

②當點O在DE的右側時，如圖3，作直徑DN，連接BN，

由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，

∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，

綜上所述，∠BDE的度數為20°或40°．