Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，點．將繞點順時針旋轉，得，點，旋轉后的對應點為，．記旋轉角為．

（1）如圖①，當時，求點的坐標；

（2）如圖②，當時，求點的坐標；

（3）連接，設線段的中點為，連接，求線段的長的最小值（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）過點作，垂足為，根據題意可得，，從而求出，，根據旋轉的性質，點在線段上，然后利用銳角三角函數即可求出結論；

（2）連接，過點作，垂足為，根據旋轉的性質，，然后利用銳角三角函數可得，，求出OD，即可得出結論；

（3）連接，設線段的中點為，連接，取的中點N，連接、MN，根據中位線的性質可得MN=OB=，利用勾股定理求出，然后根據三角形的三邊關系即可得出結論．

解：（1）如圖，過點作，垂足為．

∵ 點，點，

∴ ，．

∴ ，．

∵ 是繞點順時針旋轉得到的，，

∴ ，點在線段上．

∴ ．

在中，，．

∴ 點的坐標為．

（2）如圖，連接，過點作，垂足為．

∵ ，，

∴ ，．

∴ ．

在中，，．

∴ ．

∴ 點的坐標為．

（3）連接，設線段的中點為，連接，取的中點N，連接、MN

∴MN為△A′OB的中位線，

∴MN=OB=

由勾股定理可得

∴≥－MN=（當且僅當M 在線段O′N上時，取等號）

∴的最小值為．