Question

【題目】如圖，已知是的直徑，點是上一點，連接，點關于的對稱點恰好落在上．

（1）求證：；

（2）過點作的切線，交的延長線于點．如果，求的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）由題意可知，根據同弧所對的圓心角相等得到，再根據同弧所對的圓心角和圓周角的關系得出，利用同位角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行；

（2）利用切線的性質得到OC垂直于CD，從而得到OC∥AD，即可得到∠APO=∠COP，進一步得出∠APO=∠AOP，確定出為等邊三角形，點，點關于對稱，繼而得出為等邊三角形，可求出∠PCD為30°，在直角三角形PCD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD=4．

解：（1）證明：∵點關于的對稱點恰好落在上．

∴∴，∴

又∵∴，

∴；

（2）解：連接，

∵為圓的切線，∴，又，

∴，∴，

∵，∴，

∴∵．

∴為等邊三角形，，

又∵點，點關于對稱

∴也為等邊三角形，

∴，，

又∵，

在中，

又，

∴．