Question

【題目】如圖，已知直線與雙曲線交于、兩點，且點的橫坐標為4.

（1）若雙曲線上一點的縱坐標為8，求的面積；

（2）過原點的另一條直線交雙曲線于，兩點（點在第一象限），若由點，，，為頂點組成的四邊形面積為24，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為或.

【解析】

（1）將x=4代入一次函數解析式求出y的值，確定出A的坐標，將A坐標代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；將C縱坐標代入反比例解析式求出橫坐標，確定出C坐標，即CD與OD的長，三角形AAOC面積=三角形COD面積+梯形AEDC面積-三角形AOE面積，求出即可；

（2）設，即OM=m，PM=，分兩種情況考慮：若P在A的左側，如圖所示，作PM⊥x軸，AN⊥x軸，由四邊形APBQ面積為24，且為平行四邊形，得到三角形AOP面積為6，根據三角形POM面積+梯形ANMP面積-三角形AON面積，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出此時P的坐標；若P在A的右側，同理可得P的坐標．

（1）∵點的橫坐標為4

∴把代入中，得

∴

∵點是直線與雙曲線的交點

∴

∴雙曲線的解析式為

如圖所示，過點、分別作軸的垂線，垂足為、

∵點在雙曲線上

∴當時，

∴點的坐標為

∵點、在雙曲線上

∴

∴

∴

∵

∴

（2）∵反比例函數圖像是關于原點的中心對稱圖形

∴，

∴四邊形是平行四邊形

∴

設點的橫坐標為（且）

∴

過點、分別作軸的垂線，垂足為、

∵點、在雙曲線上

∴

若，如圖所示：

∵

∴

即

∴，（舍去）

∴

若，如圖所示：

∵

∴

即

∴，（舍去）

∴

∴點的坐標為或.