Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（0，6），B（8，0），AB=10，如圖作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，BD交y軸于點E，直線DO交AC于點C．

（1）①求證：△ACO≌△EDO；②求出線段AC、BD的位置關系和數量關系；

（2）動點P從A出發，沿A﹣O﹣B路線運動，速度為1，到B點處停止運動；動點Q從B出發，沿B﹣O﹣A運動，速度為2，到A點處停止運動．二者同時開始運動，都要到達相應的終點才能停止．在某時刻，作PE⊥CD于點E，QF⊥CD于點F．問兩動點運動多長時間時△OPE與△OQF全等？

Answer 1

【答案】（1）AC∥BD，AC=BD﹣10；（2）當兩動點運動時間為2、、12秒時，△OPE與△OQF全等.

【解析】

（1）①根據全等三角形的判定定理ASA證得結論；

②利用①中全等三角形的性質得到：AC∥BD，AC=BD-10；

（2）設運動的時間為t秒，（i）當點P、Q分別在y軸、x軸上時（ii）當點P、Q都在y軸上時，（iii）當點P在x軸上，Q在y軸時若二者都沒有提前停止，當點Q提前停止時，列方程即可得到結論．

（1）①如圖，

∵∠DBO=∠ABO，OB⊥AE，

∴∠BAO=∠BEO，

∴AB=BE，

∴AO=OE，

∵∠CAy=∠BAO，

∴∠CAy=∠BEO，

∴∠DEO=∠CAO

在△ACO與△EDO中，

，

∴△ACO≌△EDO（ASA）；

②由①知，△ACO≌△EDO，

∴∠C=∠D，AC=DE，

∴AC∥BD，AC=BD﹣10；

（2）設運動的時間為t秒，

（i）當點P、Q分別在y軸、x軸上時PO=QO得：6﹣t=8﹣2t，解得t=2（秒），

（ii）當點P、Q都在y軸上時PO=QO得：6﹣t=2t﹣8，解得t=（秒），

（iii）當點P在x軸上，Q在y軸時若二者都沒有提前停止，則PO=QO得：t﹣6=2t﹣8，解得t=2（秒）不合題意；

當點Q提前停止時，有t﹣6=6，解得t=12（秒），

綜上所述：當兩動點運動時間為2、、12秒時，△OPE與△OQF全等.