Question

【題目】閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：
（1）閱讀填空
sin30°= ，cos30°= ，則sin230°+cos230°= ；①
sin45°= ，cos45°= ，則sin245°+cos245°= ；②
sin60°= ，cos60°= ，則sin260°+cos260°= ．③
…
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A= ．④
（2）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；

（3）已知：∠A為銳角（cosA＞0）且sinA= ，求cosA．

Answer 1

【答案】
（1）1；1；1；1
（2）

解：如圖，過點B作BD⊥AC于D，則∠ADB=90°．

∵sinA= ，cosA= ，

∴sin2A+cos2A=（ ）2+（ ）2= ，

∵∠ADB=90°，

∴BD2+AD2=AB2，

∴sin2A+cos2A=1

（3）

解：∵sinA= ，sin2A+cos2A=1，∠A為銳角，

∴cosA= =

【解析】解：∵sin30°= ，cos30°= ，
∴sin230°+cos230°=（ ）2+（ ）2= + =1；①
∵sin45°= ，cos45°= ，
∴sin245°+cos245°=（ ）2+（ ）2= + =1；②
∵sin60°= ，cos60°= ，
∴sin260°+cos260°=（ ）2+（ ）2= + =1．③
觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A=1．④
【考點精析】利用勾股定理的概念和同角三角函數的關系（倒數、平方和商）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；各銳角三角函數之間的關系：平方關系（sin2A+cos2A=1）；倒數關系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切關系（tanA=sinA/cosA ）．