Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是 ．
①EF= OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF= OA；④在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE；故正確；②∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD ，
∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正確；③∴BE+BF=BF+CF=BC= OA；故正確；④過點O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x（1﹣x）+ （1﹣x）× =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵a=﹣ ＜0，
∴當x= 時，S△BEF+S△COF最大；
即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ；故錯誤；
所以答案是①②③．

【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和二次函數(shù)的最值，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．