Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，在⊙O的切線CM上取一點P，使得∠CPB=∠COA．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若CD=6，∠AOC=60°，求PB的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6

【解析】

（1）根據切線的性質和四邊形的內角和即可得出∠PBO=90°，進而證得結論；

（2）解法1：連接OP，先根據垂徑定理和30°的直角三角形的性質求出半徑OC的長，即為OB的長，再利用四邊形的內角和和切線長定理求出∠BPO的度數，進一步即可求出PB的長；

解法2：連接BC，先證明△PBC是等邊三角形，再在直角△BCE中求出BC的長即可.

（1）證明： ∵ PC與⊙O相切于點C，∴ OC⊥PC，∴ ∠OCP=90°．

∵ ∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180°，

∴ ∠BOC+∠CPB=180°．

在四邊形PBOC中，∠PBO=360°－∠CPB－∠BOC－∠PCO=90°．

∴ 半徑OB⊥PB，∴ PB是⊙O的切線；

（2）解法1：連接OP，如圖．

∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°．

∵ ∠OCP=∠OBP=90°，∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°．

∵ PB，PC都是⊙O的切線，∴ PO平分∠BPC，∴∠CPO=∠BPO=30°．

∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑，CD=6，∴，

∵∠AOC=60°，CD⊥AB，∴∠ACO=30°，=OB．

∴PB= OB·=·= 6．

解法2：連接BC，如圖．

∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，

∵ ∠OCP=∠OBP=90°，∴∠BPC=360°－120°－2×90°=60°，

∵ PB，PC都是⊙O的切線，∴ PB=PC，

∴ △PBC為等邊三角形，∴PB=BC．

∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑，CD=6，∴，

∵∠AOC=60°，CD⊥AB，∴∠ABC=30°，

∴BC=2CE=6，∴PB= BC= 6．