Question

【題目】如圖，拋物線經過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；

（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點在拋物線上，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（2）∵，∴其對稱軸為直線x=2。

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，），

∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

，解得：。

∴直線BC的解析式為。

當x=2時，，

∴P（2，）。

（3）存在。

如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，），

∴N1（4，）。

②當點N在x軸上方時，

如圖2，過點N作ND⊥x軸于點D，

在△AND與△MCO中，，

∴△AND≌△MCO（ASA）。

∴ND=OC=，即N點的縱坐標為。

∴，解得或。

∴N2（，），N3（，）．

綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，），（，）或（，）

【解析】

試題本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點代入求出a、b、c的值即可；（2）因為點A關于對稱軸對稱的點B的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點在拋物線上，∴，解得．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣，∴其對稱軸為直線x=﹣=﹣=2，連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣，當x=2時，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；

（3）存在．如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；

②當點N在x軸上方時，如圖2，過點N2作N2D⊥x軸于點D，在△AN2D與△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2點的縱坐標為．∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．綜上所述，符合條件的點N的坐標為N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．