Question

【題目】如圖在矩形中，，點為邊上一點，，連接，. 動點以每秒1個單位的速度從點出發沿向終點運動，同時動點以每秒2個單位的速度從點出發沿向終點運動，過點作，交于點，連接、、，設運動時間為秒.

（1）求的長（用含的代數式表示）；

（2）求證：四邊形為平行四邊形；

（3）探索當為何值時，與以，，為頂點的三角形相似？

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或.

【解析】

（1）由推出，根據直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一般，可得到；

（2）由一組對邊平行且相等可判定；

（3）由可得，由于兩相似三角形的對應邊不能確定，故分兩種情況進行討論：①當時，則，②當時，則.

（1）∵，

∴，

∵是直角三角形，

∴，

（2）∵動點以每秒2個單位的速度從點出發沿向點運動，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

（3）在直角三角形中， ，

，

∴.

∵，

∴.

分兩種情況:

①當時，則，此時，即四邊形是平行四邊形，

∴，而，，

∴，解得；

②當時，則，

∴，即，

∵四邊形是平行四邊形，即，

又，

∴，解得

綜上所述， 或.