Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A(1，0)，B(3，0)兩點與y軸交于點C，D為拋物線頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，過點C的直線交拋物線于另一點E，若∠ACE=60°，求點E的坐標．

（3）如圖2，直線交拋物線于P，Q兩點，求△DPQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）△DPQ面積的最小值為

【解析】

（1）由拋物線與x軸的兩個交點坐標A（1，0），B（3，0），可代入點的坐標即可得解；

（2）過點A作AF⊥AC交AC的延長線于點F，過點F作FG⊥x軸交x軸于點G，可證明△AOC∽△FGA，利用60°角的銳角三角函數值和比例線段可求出AG和FG的長，則F點坐標為（10，），求得直線CF的解析式，與拋物線方程聯立即求出點E的坐標；

（3）過點D作DM∥y軸交PQ于點M，由拋物線頂點D的坐標可知DM=2，若△DPQ面積有最小值，則底邊是定值，點P和點Q的橫坐標之差的絕對值最小．聯立直線與拋物線方程可用k表示出點P和點Q的橫坐標之差的絕對值，即可得解．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點

∴

解得：a=，b=；

∴所求拋物線的解析式為：；

（2）如圖1所示，過點A作AF⊥AC交CE的延長線于點F，過點F作FG⊥x軸交x軸于點G，

∵∠COA=∠CAF=∠FGA=90°，

∴∠OCA=∠GAF，∠OAC=∠GFA

∴△AOC∽△FGA，

∴

又∵△CAF是直角三角形，∠ACE=60°

∴，

∴，

∵OC=3，OA=1，

∴FG=，AG=9，

∴F，

設直線CF的解析式為：y=mx+n，

將分別代入上式，

得，

解得：，

∴直線CF的解析式為：，

聯立直線CF與拋物線的解析式得

∴，

解得：（不符合題意），，

∴所求點E的坐標為：；

（3）如圖2，過點D作DM∥y軸交PQ于點M，

∵=

∴，

把x=2代入直線y=kx-2k+得y=，

∴DM=，

∵，

整理得，

∴P、Q兩點的橫坐標x1、x2為方程的兩根，

∴==，

當k=0時，的最小值為8，此時|x1-x2|的最小值為2．

∵=|x1-x2|．

∴△DPQ面積的最小值為：．