Question

如圖所示，點A，F，C，D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
 
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，當AF為何值時，四邊形BCEF是菱形．

Answer 1

（1）由AF=DC可得AC=DF，再有AB=DE，∠A=∠D即可證得△ABC≌DEF，即得BC=EF，∠ACB=∠DFE，則可得BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形；（2）

試題分析：（1）由AF=DC可得AC=DF，再有AB=DE，∠A=∠D即可證得△ABC≌DEF，即得BC=EF，∠ACB=∠DFE，則可得BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）連接BE，交CF與點G，由四邊形BCEF是平行四邊形，可知當BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，先根據勾股定理求得AC的長，證得△ABC∽△BGC，根據相似三角形的性質可得CG的長，從而可以求得結果.
（1）∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）連接BE，交CF與點G，

∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴當BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴=，即=，
∴CG=，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=，
∴AF=AC﹣FC=5﹣=，
∴當AF=時，四邊形BCEF是菱形．
點評：特殊四邊形的判定和性質的應用是初中數學極為重要的知識，貫穿于整個初中數學的學習，與各個知識點聯系極為容易，是中考的熱點.