Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE交AB于點F，⊙O的切線BC與AD的延長線交于點C，連接AE．

（1）試判斷∠AED與∠C的數量關系，并說明理由；

（2）若AD=3，∠C=60°，點E是半圓AB的中點，則線段AE的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠AED=∠C（2）

【解析】

（1）根據切線的性質和圓周角定理解答即可；

（2）根據勾股定理和三角函數進行解答即可．

（1）∠AED=∠C，證明如下：

連接BD，

可得∠ADB=90°，

∴∠C+∠DBC=90°，

∵CB是⊙O的切線，

∴∠CBA=90°，

∴∠ABD+∠DBC=90°，

∴∠ABD=∠C，

∵∠AEB=∠ABD，

∴∠AED=∠C，

（2）連接BE，

∴∠AEB=90°，

∵∠C=60°，

∴∠CAB=30°，

在Rt△DAB中，AD=3，∠ADB=90°，

∴cos∠DAB=，

解得：AB=2，

∵E是半圓AB的中點，

∴AE=BE，

∵∠AEB=90°，

∴∠BAE=45°，

在Rt△AEB中，AB=2，∠ADB=90°，

∴cos∠EAB=，

解得：AE=．

故答案為：