Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x﹣1分別交x軸、y軸于點A、B，在第二象限內有一邊長為2的正方形CDEF，已知C（﹣1，1），若動點P從C出發以每秒1個單位的速度沿著正方形CDEF的邊逆時針運動一周（到達C點后停止運動），設P點運動的時間為t秒．

（1）是否存在t，使得以P為圓心，為半徑的圓與直線AB相切？若存在，求出所有t的值；若存在，請說明理由．

（2）在點P運動的同時，直線AB以每秒1個單位的速度向右作勻速運動（與點P同時停止）是否存在t，使得以P為圓心，為半徑的圓與平移后的直線A′B′相切？請直接寫出所有t的值．

Answer 1

【答案】（1）滿足條件的t的值為1或4．（2）滿足條件的t的值為或或．

【解析】

(1) 設存在點P．作PH⊥AB，PM⊥x軸交AB于Q,可證△PHQ∽△AOB，可得PQ=，分點P在CD上時，與當點P在DE上時討論，可得t的值；

（2）由題意平移后可得直線A′B′的解析式為，作PH⊥A′B′，PM⊥x軸交A′B′于Q．當PH=時，同法可得PQ=，分①當點P在CD上時，②當點P在DE上時，

③當點P在EF上時，三種情況討論，可的t的值.

解：（1）假設存在點P．作PH⊥AB，PM⊥x軸交AB于Q．

∵PQ∥y軸，

∴∠OBA=∠PQH，

∵∠AOB=∠PHQ=Rt∠，

∴△PHQ∽△AOB，

∴=，

∵A（﹣1，2）或（﹣3，3），PH=，

∴AO=2，AB=，

∴PQ=，

①當點P在CD上時，t+1+=，解得t=1，

②當點P在DE上時，3﹣[﹣（1﹣t）﹣1]=，解得t=4，此時點P與E重合．

綜上所述，滿足條件的t的值為1或4．

（2）由題意平移后的直線A′B′的解析式為y=﹣x﹣1+，

作PH⊥A′B′，PM⊥x軸交A′B′于Q．

當PH=時，同法可得PQ=，

①當點P在CD上時，1+t﹣（﹣1+）=，解得t=，

②當點P在DE上時，3﹣[﹣（1﹣t）﹣1+]=，解得t=，

③當點P在EF上時，﹣1+﹣（6﹣t+1）=，解得t=，

綜上所述，滿足條件的t的值為或或．