Question

【題目】如圖，已知線段， 是上的一動點，是的中點，以為邊作正方形，點關于射線的對稱點為 ，連接、，直線交于點．

（1）如圖1，當點在線段上，且，求的度數；

（2）小明在解題時發現：當點在線段上時，線段，，之間滿足，那么你認為當點在線段上時（如圖2），他的結論是否還成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，點在上，且，當點從點運動到點時，直接寫出點所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）∠AFD=45 ；（2）成立，理由見解析；（3）點所經過的路徑長為．

【解析】

（1）根據點關于射線的對稱點為，得出AE=AB，∠EAP=∠PAB=25，再根據正方形和等腰三角形的性質得出∠AED，然后根據三角形的外角即可得出結論

（2）連接BF、BD，先根據正方形的性質可得BD=2AD，再根據三角形的外角和內角和定理得出∠AFD=45，從確定BFD 是直角三角形，即可得出結論

（3）當點P運動到點Q時，BP=2，解直角三角形△ABP，得出∠BAP=30，再根據∠AFD=∠AOD，可得點F所經過的路徑長為以點O為圓心，以OA長為半徑，圓心角∠AOF=150的弧長，即可求出答案

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠BAD=90

∵點B與點E關于射線AP對稱

∴AE=AB，∠EAP=∠PAB=25

∴AE=AD，∠EAD=∠EAB+∠BAD=140

∴∠AED=(180-∠EAD)= (180-140)=20

∴∠AFD=∠AED+∠EAP=20+25=45

（2）成立

理由如下：連接BF、BD，

在RtABD中，BD=AB+AD=2AD

∵點B與點E關于射線AP對稱

∴BF=EF ，AB=AE=AD，∠AFB=∠AFD

∴∠BAF=∠EAF，∠ADE=∠AED

∵∠AED是△AEF的外角

∴∠AED=∠EAF+∠AFD

又∵∠DAE=90－2∠EAF

∴在△ADE中，∠DAE+∠ADE+∠AED=180

∴90－2∠EAF+2(∠EAF+∠AFD)=180

∴∠AFD=45

∴∠BFD=2∠AFD=90

∴在RtBFD中，B F+DF=BD

∴EF+DF=2AD

（3）點所經過的路徑長為．

設AC、BD相交于點O，則

OA=AB=

∵在點F的運動過程中，∠AFD=45

∴∠AFD=∠AOD

當點P運動到點Q時，BP=2

在Rt△ABP中，tan∠BAP=

∴∠BAP=30∴∠CAF=15

∴點F所經過的路徑長為以點O為圓心，以OA長為半徑，圓心角∠AOF=150的弧長

∴點F所經過的路徑長為．