Question

【題目】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=，將AC邊所在直線向右平移，所得直線MN與BC邊的延長線相交于點M，點D在AC邊上，CD=CM，過點D的直線平分∠BDC，與BC交于點E，與直線MN交于點N，聯接AM．

（1）若CM=，則AM= ；

（2）如圖①，若點E是BM的中點，求證：MN=AM；

（3）如圖②，若點N落在BA的延長線上，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】分析：(1)、根據Rt△ACM的勾股定理得出AM的長度；(2)、①過點B作BF⊥BC與NE的延長線交于點F，首先證明△BEF≌△MEN，然后再證明Rt△BDC≌Rt△AMC，從而得出BD=AM，根據角平分線的性質以及平行線的性質得出∠BDF=∠F，從而得出答案；②過點D作DH⊥MN于點H，首先證明四邊形CDHM是正方形，然后證明Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH，根據全等得出∠1＝∠2＝∠5＝30°，根據Rt△BDC的三角函數得出答案．

詳解：（1）；

（2）證明：如圖①，過點B作BF⊥BC與NE的延長線交于點F，

∵∠ACB=90°，MN∥AC，∴∠FBE=∠NME=90°， 又BE＝ME，∠BEF=∠MEN，

∴△BEF≌△MEN，∴BF＝MN， ∵CD＝CM，BC＝AC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC，∴BD＝AM，

∵NF平分∠BDC，∴∠BDF=∠FDC, 又由BF∥AC，得：∠F=∠FDC，

∴∠BDF=∠F，∴BD＝BF，∴MN=AM.

(3)如圖②，過點D作DH⊥MN于點H，

∵MN∥AC，∠ACB=90°，CD＝CM，∴四邊形CDHM是正方形，

又點N在BA的延長線上，∴△BNM∽△BAC， ∵AC＝BC，∴NM＝BN，

又MH＝CM＝DH，∴NH＝BC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH， ∴BD＝AM＝ND，∠5＝∠6，

又∠1＝∠2，∠2＝∠6，∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠2+∠5＝90°，

∴∠1＝∠2＝∠5＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝BC，AB=，∴AC＝BC＝4，

在Rt△BDC中， ∴AM＝ .