Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，點D在AC上，CD=3厘米．點P、Q分別由A、C兩點同時出發，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒；點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米．設運動的時間為x秒（0＜x＜8），△DCQ的面積為y1平方厘米，△PCQ的面積為y2平方厘米．

（1）求y1與x的函數關系，并在圖2中畫出y1的圖象；
（2）如圖2，y2的圖象是拋物線的一部分，其頂點坐標是（4，12），求點P的速度及AC的長；
（3）在圖2中，點G是x軸正半軸上一點0＜OG＜6，過G作EF垂直于x軸，分別交y1、y2的圖象于點E、F．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；
②當0＜x＜6時，求線段EF長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S△DCQ= CQCD，CD=3，CQ=x，

∴y1= x（0＜x＜8）．圖象如圖所示；

（2）解：S△PCQ= CQCP，CP=8k﹣xk，CQ=x，

∴y2= ×（8k﹣kx）x=﹣ kx2+4kx．

∵拋物線頂點坐標是（4，12），

∴﹣ k42+4k4=12．

解得k= ．

則點P的速度每秒 厘米，AC=12厘米；

（3）解：①觀察圖象，知線段的長EF=y2﹣y1，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）．

②由（2）得y2=﹣ x2+6x．

∴EF=﹣ x2+6x﹣ x=﹣ x2+ x=﹣ （x2﹣6x+9）+ =﹣ （x﹣3）2+ ，

∵二次項系數小于0，

∴在0＜x＜6范圍，

當x=3時，EF= 最大．

【解析】（1）以C為坐標原點，以CA、CB所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，根據Q點的速度可以用時間x表示出CQ的長，可根據三角形的面積計算公式得出y1，x的函數關系式；
（2）首先找出拋物線經過的點的坐標，然后利用待定系數法求得y2的函數式，然后根據其頂點坐標來確定k的取值．已知了P點走完AC用時8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根據三角形的面積公式列出關于y2，x的函數關系式，進而可根據頂點坐標求出k的值；
（3）由于EF平行與y軸，所以EF=y2-y1，即三角形PCQ和CDQ的面積差即三角形PDQ的面積，然后由EF=y2-y1可得出EF的長度與x的函數關系式，最后，利用配方法可求得EF的最大值.