Question

【題目】如圖，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分線，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∵AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形．
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，
∴AP=AB=2，
∴PH=，DH=5，
∴tan∠ADP==．

【解析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形和角平分線的性質可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；
（2）作PH⊥AD于H，根據四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH= ， DH=5，然后利用銳角三角函數的定義求解即可．