Question

【題目】邊長為2的正方形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點是邊的中點，連接，點在第一象限，且，.以直線為對稱軸的拋物線過，兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點從點出發，沿射線每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為秒.過點作于點，當為何值時，以點，，為頂點的三角形與相似？

（3）點為直線上一動點，點為拋物線上一動點，是否存在點，，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或時，以點，，為頂點的三角形與相似；（3）存在，四邊形是平行四邊形時，，；四邊形是平行四邊形時，，；四邊形是平行四邊形時，，

【解析】

（1）根據正方形的性質，可得OA＝OC，∠AOC＝∠DGE，根據余角的性質，可得∠OCD＝∠GDE，根據全等三角形的判定與性質，可得EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）分類討論：若△DFP∽△COD，根據相似三角形的性質，可得∠PDF＝∠DCO，根據平行線的判定與性質，可得∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90，根據矩形的判定與性質，可得PC的長；若△PFD∽△COD，根據相似三角形的性質，可得∠DPF＝∠DCO，，根據等腰三角形的判定與性質，可得DF于CD的關系，根據相似三角形的相似比，可得PC的長；

（3）分類討論：當四邊形是平行四邊形時，四邊形是平行四邊形時，四邊形是平行四邊形時，根據一組對邊平行且相等的四邊形式平行四邊，可得答案．

解：（1）過點作軸于點.

∵四邊形是邊長為2的正方形，是的中點，

∴，，.

∵，∴.

∵，∴.

在和中，

∴，，.

∴點的坐標為.

∵拋物線的對稱軸為直線即直線，∴可設拋物線的解析式為，

將、點的坐標代入解析式，得，解得.

∴拋物線的解析式為；

（2）①若，則，，

∴，∴四邊形是矩形，

∴，∴；

②若，則，

∴.

∴.

∴，∴.

∵，∴，∴.

∵，

∴，，

綜上所述：或時，以點，，為頂點的三角形與相似：

（3）存在，①若以DE為平行四邊形的對角線，如圖2，

此時，N點就是拋物線的頂點（2，），

由N、E兩點坐標可求得直線NE的解析式為：y＝x；

∵DM∥EN，

∴設DM的解析式為：y＝x＋b，

將D（1，0）代入可求得b＝，

∴DM的解析式為：y＝x，

令x＝2，則y＝，

∴M（2，）；

②過點C作CM∥DE交拋物線對稱軸于點M，連接ME，如圖3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，

∴CM⊥CD，

∵OC⊥CB，

∴∠OCD＝∠BCM，

在△OCD和△BCM中

，

∴△OCD≌△BCM（ASA），

∴CM＝CD＝DE，BM＝OD＝1，

∴CDEM是平行四邊形，

即N點與C占重合，

∴N（0，2），M（2，3）；

③N點在拋物線對稱軸右側，MN∥DE，如圖4，

作NG⊥BA于點G，延長DM交BN于點H，

∵MNED是平行四邊形，

∴∠MDE＝MNE，∠ENH＝∠DHB，

∵BN∥DF，

∴∠ADH＝∠DHB＝∠ENH，

∴∠MNB＝∠EDF，

在△BMN和△FED中

∴△BMN≌△FED（AAS），

∴BM＝EF＝1，

BN＝DF＝2，

∴M（2，1），N（4，2）；

綜上所述，

四邊形是平行四邊形時，，；

四邊形是平行四邊形時，，；

四邊形是平行四邊形時，，.