Question

【題目】如圖，為的直徑，、為上兩點，，，垂足為．直線交的延長線于點，連接．

（1）判斷與的位置關系，并說明理由；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）EF與⊙O相切，理由見解析；（2）證明見解析．

【解析】

(1)連接OC，由題意可得∠OCA=∠FAC=∠OAC，可得OC∥AF，可得OC⊥EF，即EF是⊙O的切線；

(2) 連接BC，根據直徑所對圓周角是直角證得△ACF∽△ABC，即可證得結論．

(1)EF與⊙O相切，

理由如下：

如圖，連接OC，

∵，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠FAC，

∴OC∥AF，

又∵EF⊥AF，

∴OC⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

(2)連接BC，

∵AB為直徑，

∴∠BCA=90°，

又∵∠FAC=∠BAC，

∴△ACF∽△ABC，

∴，

∴．