Question

【題目】某公司研發了一款成本為50元的新型玩具，投放市場進行試銷售．其銷售單價不低于成本，按照物價部門規定，銷售利潤率不高于90%，市場調研發現，在一段時間內，每天銷售數量y（個）與銷售單價x（元）符合一次函數關系，如圖所示：

（1）根據圖象，直接寫出y與x的函數關系式；

（2）該公司要想每天獲得3000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元

（3）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+260；（2）銷售單價為80元；（3）銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元．

【解析】

（1）由待定系數法可得函數的解析式；
（2）根據利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列方程可解；
（3）設每天獲得的利潤為w元，由題意得二次函數，寫成頂點式，可求得答案．

（1）設y＝kx+b（k≠0，b為常數）

將點（50，160），（80，100）代入得

解得

∴y與x的函數關系式為：y＝﹣2x+260

（2）由題意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000

化簡得：x2﹣180x+8000＝0

解得：x1＝80，x2＝100

∵x≤50×（1+90%）＝95

∴x2＝100＞95（不符合題意，舍去）

答：銷售單價為80元．

（3）設每天獲得的利潤為w元，由題意得

w＝（x﹣50）（﹣2x+260）

＝﹣2x2+360x﹣13000

＝﹣2（x﹣90）2+3200

∵a＝﹣2＜0，拋物線開口向下

∴w有最大值，當x＝90時， w最大值＝3200

答：銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元．