Question

【題目】如圖1,拋物線y = ax2+bx-3經過A、B、C三點，己知點A(-3,0)、C (1, 0).

（1）求此拋物線的解析式.

（2）點P是直線AB下方的拋物線上一動點(不與A、B重合)，

①過點F作x軸的垂線，垂足為D,交直線AB于點E,動點P在什么位置時，PE最大,求 出此時P點的坐標.

②如圖2,連接AP.以AP為邊作圖示一側的正方形APMN,當它恰好有一個頂點落在拋物 線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y = x2+2x﹣3；（2）①（﹣，），②（﹣－1，2）或（，）

【解析】

（1）直接用待定系數法求解即可；

（2）①由拋物線解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，求出點B（0，-3），設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b求出k=-1，b=-3，直線AB的解析式為y=﹣x﹣3，設E（x，﹣x﹣3），則PE=﹣（x+）2+，從而得當PE最大時，P點坐標為（﹣，）；

②拋物線對稱軸為直線x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的頂點落在拋物線對稱軸上的情況有兩種情況，i) 當點N在拋物線對稱軸直線x=﹣1上；ii）當點M在拋物線對稱軸直線x=﹣1；根據這兩種情況，作出圖形，找到線段之間的等量關系，解之即可．.

（1）把A（﹣3,0）和C（1,0）代入y = ax2+bx﹣3得，

，解得，

∴拋物線解析式為y = x2+2x﹣3；

（2）設P（x，x2+2x﹣3），直線AB的解析式為y=kx+b，

①由拋物線解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，

∴B（0，﹣3），

把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b得，

解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣3，

∵PE⊥x軸，

∴E（x，﹣x﹣3），

∵P在直線AB下方，

∴PE=﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

當x=﹣時，y= x2+2x﹣3=，

∴當PE最大時，P點坐標為（﹣，）.

②拋物線對稱軸為直線x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的頂點落在拋物線對稱軸上的情況有兩種：

i)當點N在拋物線對稱軸直線x=﹣1上時，作PR⊥x軸于點R，設對稱軸與x軸的交點為L，如圖①，

∵四邊形APMN為正方形，

∴AN=AP，∠PAR+∠RAN=90°，

∵∠PAR+∠APR=90°，

∴∠APR=∠RAN，

在△APR和△NAL中

∴△APR≌△NAL（AAS），

∴PR=AL，

∵AL=﹣1－（﹣3）=2，

∴PR=2，此時 x2+2x﹣3=2，解得x1=－1，x2=﹣－1，

∵P在直線AB下方，

∴x=﹣－1，

∴P（﹣－1，2）；

ii)當點M在拋物線對稱軸直線x=﹣1上時，如圖②，過點P作PH⊥對稱軸于點H、作AG⊥HP于點G，

∵四邊形APMN為正方形，

∴PA=PM，∠APM=90°，

∴∠APG+∠MPH=90°，

∵∠APG+∠GAP=90°，

∴∠GAP=∠HPM，

在△APG和△PMH中

∴△APG≌△PMH（AAS），

∴AG=PH，PG=MH，

∴GH=PG+PH

∵P(x，x2+2x-3)

∴x+3+（-x2-2x+3）=2，解得x1=，x2=，

∵P在直線AB下方，

∴x=，

∴P（，）

終上所述，點P對應的坐標為（﹣－1，2）或（，）.