Question

【題目】我們不妨約定：如圖①，若點D在△ABC的邊AB上，且滿足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），則稱滿足這樣條件的點為△ABC邊AB上的“理想點”．

（1）如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=，AB=4.試判斷點D是不是△ABC邊AB上的“理想點”，并說明理由．

（2）如圖②，在⊙O中，AB為直徑，且AB=5，AC=4.若點D是△ABC邊AB上的“理想點”，求CD的長．

（3）如圖③，已知平面直角坐標系中，點A(0,2),B(0,-3),C為x軸正半軸上一點，且滿足∠ACB=45°，在y軸上是否存在一點D，使點A是B，C，D三點圍成的三角形的“理想點”，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）D（0,42）或D（0,6）

【解析】

（1）依據邊長AC=，AB=4，D是邊AB的中點，得到AC2=，可得到兩個三角形相似，從而得到∠ACD=∠B；

(2)由點D是△ABC的“理想點”，得到∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，分兩種情況證明均得到CD⊥AB，再根據面積法求出CD的長；

(3)使點A是B，C，D三點圍成的三角形的“理想點”，應分兩種情況討論，利用三角形相似分別求出點D的坐標即可.

（1）D是△ABC邊AB上的“理想點”，理由：

∵AB=4，點D是△ABC的邊AB的中點，

∴AD=2，

∵AC2=8，，

∴AC2=，

又∵∠A=∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∴D是△ABC邊AB上的“理想點”.

（2）如圖②，

∵點D是△ABC的“理想點”，

∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,

當∠ACD=∠B時，

∵∠ACD+∠BCD=90，

∴∠BCD+∠B=90，

∴∠CDB=90，

當∠BCD=∠A時，同理可得CD⊥AB，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90,AB=5，AC=4，

∴BC==3，

∵,

∴,

∴.

（3）如圖③，存在.

過點A作MA⊥AC交CB的延長線于點M，∵∠MAC=∠AOC=90,∠ACM=45，

∴∠AMC=∠ACM=45，

∴AM=AC,

∵∠MAH+∠CAO=90,∠CAO+∠ACO=90,

∴∠MAH=∠ACO,

∴△AHM≌△COA

∴MH=OA,OC=AH,

設C（a，0），

∵A(0，2),B(0，-3),

∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，

∵MH∥OC,

∴，

∴，

解得a=6或a=-1（舍去），

經檢驗a=6是原分式方程的解，

∴C（6,0），OC=6.

①當∠D1CA=∠ABC時，點A是△BCD1的“理想點”，

設D1(0，m)，

∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,

∴△D1AC∽△D1CB,

∴,

∴，

解得m=42，∴D1(0，42)；

②當∠BCA=∠CD2B時，點A是△BCD2“理想點”，

可知：∠CD2O=45，

∴OD2=OC=6，

∴D2（0,6）.

綜上，滿足條件的點D的坐標為D（0,42）或D（0,6）.