Question

已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交線段AE于F．
（1）如圖1，若AE=AD，∠ADC=60°，請直接寫出線段CD與AF+BE之間所滿足等量關系；
（2）如圖2，若AE=AD，你在（1）中得到的結論是否仍然成立，若成立，對你的結論加以證明，若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，若AE：AD=a：b，試探究線段CD、AF、BE之間所滿足的等量關系，請直接寫出你的結論．

Answer 1

（1）CD=AF+BE，
理由是：延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAE=90°，
∴∠DAG=90°，
在△ABE和△DGA中

AE=AD ∠BEA=∠GAD BE=AG

∴△ABE≌△DGA，
∴DG=AB=CD，∠1=∠2，
∵平行四邊形ABCD，AE⊥BC，
∴∠B=∠ADC=60°=∠G，AE⊥AD，
∴∠1=∠2=30°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3=∠4=30°，
∴∠AFD=60°=∠GDF，
∴DG=GF=AF+AG，
∴CD=AB=DG=AF+BE，
即CD=AF+BE．

（2）（1）中的結論仍然成立．
證明：延長EA到G，使得AG=BE，連接DG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于點E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
在△ABE和△DGA中

BE=GA ∠GAD=∠BEA AE=AD

∴△ABE≌△DGA，
∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC，
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，
∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3，
∴∠GDF=∠GFD，
∴GF=GD=AB=CD，
∵GF=AF+AG=AF+BE，
∴CD=AF+BE．

（3）bCD=aAF+bBE，
理由是：延長EA到G，使得

BE

AG

=

a

b

，連接DG，
即AG=

b

a

BE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于點E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
即∠AEB=∠GAD=90°，
∵

AE

AD

=

BE

AG

=

a

b

，
∴△ABE∽△DGA，
∴∠1=∠2，

AB

DG

=

a

b

，
∴∠GFD=90°-∠3，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3=∠4，
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．
∴∠GDF=∠GFD，
∴DG=GF，
∵

AB

DG

=

a

b

，AB=CD（已證），
∴bCD=aDG=a（

b

a

BE+AF），
即bCD=aAF+bBE．