Question

如圖，已知∠MON=90°，A是∠MON內部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E，F同時從O點出發，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動．設運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當t=1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由；
（2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA．為什么？
（3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得S_△AEF=S_{四邊形ABOF}？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）△EOF∽△ABO．理由見解析
（2）理由見解析
（3）存在，當t=或t=時，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．

試題分析：（1）由=及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．
（2）證明Rt△EOF∽Rt△ABO，進而證明EF⊥OA．
（3）由已知S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．得出S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF，從而可求出t的值．
試題解析：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）在運動過程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EOF．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EOF+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）如圖，連接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S_△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t²，S_△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，
S_梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6
∵S_△AEF=S_{四邊形ABOF}
∴S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF，
∴t²+6﹣t=（4t+6），即6t²﹣17t+12=0，
解得t=或t=．
∴當t=或t=時，S_△AEF=S_{四邊形ABOF}．