Question

已知二次函數y=x²-mx+m-2．
（1）求證：無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）當該二次函數的圖象經過點（3，6）時，求二次函數的解析式；
（3）將直線y=x向下平移2個單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點（點A在點B的左邊），一個動點P自A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

（1）證明：令y=0，則x²-mx+m-2=0，
∵△=（-m）²-4（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4，（1分）
又∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0．
∴無論m為任何實數，一元二次方程x²-mx+m-2=0總有兩不等實根；
∴該二次函數圖象與x軸都有兩個交點．（2分）

（2）∵二次函數y=x²-mx+m-2的圖象經過點（3，6），
∴3²-3m+m-2=6，
解得m=

1

2

；
∴二次函數的解析式為y=x2-

1

2

x-

3

2

．（3分）

（3）將y=x向下平移2個單位長度后得到解析式為：y=x-2，（4分）
解方程組

y=x-2 y=x2- 1 2 x- 3 2

，
得

x1= 1 2 y1=- 3 2

，

x2=1 y2=-1

；
∴直線y=x-2與拋物線y=x2-

1

2

x-

3

2

的交點為A(

1

2

，-

3

2

)

，&B(1，-1)

；
∴點A關于對稱軸x=

1

4

的對稱點是A′(0，-

3

2

)，
點B關于x軸的對稱點是B'（1，1），設過點A'、B'的直線解析式為y=kx+b；
∴

b=- 3 2 k+b=1

，

k= 5 2 b=- 3 2

，
∴直線A'B'的解析式為y=

5

2

x-

3

2

；
∴直線A'B'與x軸的交點為F(

3

5

，0)（5分）
與直線x=

1

4

的交點為E(

1

4

，-

7

8

)（6分）
則點E(

1

4

，-

7

8

)、F(

3

5

，0)為所求；
過點B'做B'H⊥AA'的延長線于點H，
∴B′H=

5

2

，HA'=1；
在Rt△A'B'H中，A′B′=

B′H2+A′H2

=

29

2

，
∴所求最短總路徑的長為AE+EF+FB=A'B'=

29

2

．（7分）