Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）把三點代入拋物線解析式

0=a-b+c 0=9a+3b+c 3=c

，
即得：

a=-1 b=2 c=3

，
所以二次函數式為y=-x²+2x+3；

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
則頂點P（1，4），
由B，C兩點坐標可求直線BC解析式為y=-x+3，
設過點P與直線BC平行的直線為：y=-x+b′，
將點P（1，4）代入，得y=-x+5，
則過點P與直線BC平行的直線與拋物線聯立，有則存在點Q，
-x²+2x+3=-x+5，
即x²-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
代入直線則得點（1，4）或（2，3），
已知點P（1，4），
所以點Q（2，3），
由對稱軸及直線BC解析式可知M（1，2），PM=2，
設過P′（1，0）且與BC平行的直線為y=-x+f，
將P′代入，得y=-x+1，
聯立

y=-x+1 y=-x2+2x+3

，解得

x= 3- 17 2 y= -1+ 17 2

或

x= 3+ 17 2 y= -1- 17 2

，
∴Q（2，3）或（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）或Q（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

）；

（3）由題意求得直線BC代入x=1，則y=2，
∴M（1，2），
由點M，P的坐標可知：
點R存在，即過點M平行于x軸的直線，
則代入y=2，x²-2x-1=0，
解得x=1-

2

（在對稱軸的左側，舍去），x=1+

2

，
即點R（1+

2

，2）．