Question

6．在平面直角坐標系中，點A（0，4$\sqrt{3}$），B（m，-2$\sqrt{3}$），C（n，-2$\sqrt{3}$），且m，n滿足$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，線段BC交y軸于點H．
（1）求B，C兩點坐標；
（2）若點P以每秒4$\sqrt{3}$個單位的速度從點B出發，沿線段BA方向向終點A運動，點P的運動時間為t秒，過點P作PE∥AC，交BC于點D，連接PH，請直接寫出∠DPH，∠PHA，∠HAC之間的數量關系；
（3）在（2）的條件下，若AB=12$\sqrt{3}$，在點P運動的同時，點Q從點C出發，以每秒3個單位的速度沿射線CB運動，連接HP，AQ，是否存在某一時刻，使得S_△AHP=4S_△AHQ？若存在，請求出t值，并直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，運用非負數的性質，得出m，n的值，即可求得B，C兩點坐標；
（2）分兩種情況：①當點D在線段BH上時，作HF∥PD，則HF∥AC，求得∠AHP=∠DPH+∠CAH；②當D在線段CH上時，作HF∥PD，則HF∥AC，求得∠AHP=∠CAH-∠DPH；
（3）先過P作PG⊥AH于G，根據△APG∽△ABH，求得PG=18-6t，再分兩種情況：①當Q在線段CH上時，②當Q在線段BH上時，分別根據S_△AHP=4S_△AHQ，求得t的值和點Q的坐標．

解答 解：（1）∵$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+3n=0}\\{n-6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-18}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴B（-18，-2$\sqrt{3}$），C（6，-2$\sqrt{3}$）；

（2）∠AHP=∠DPH+∠CAH或∠AHP=∠CAH-∠DPH．
分兩種情況：
①如圖所示，當點D在線段BH上時，作HF∥PD，則HF∥AC，

∴∠DPH=∠FHP，∠CAH=∠FHA，
∵∠AHP=∠FHP+∠FHA，
∴∠AHP=∠DPH+∠CAH；
②如圖所示，當D在線段CH上時，作HF∥PD，則HF∥AC，

∴∠DPH=∠FHP，∠CAH=∠FHA，
∵∠AHP=∠FHA-∠FHP，
∴∠AHP=∠CAH-∠DPH；

（3）由題可得，BP=4$\sqrt{3}$t，AP=12$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$t，CQ=3t，CH=6，BH=18，
過P作PG⊥AH于G，而BC⊥AO，
∴PG∥BC，
∴△APG∽△ABH，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PG}{BH}$，即$\frac{12\sqrt{3}-4\sqrt{3}t}{12\sqrt{3}}$=$\frac{PG}{18}$，
∴PG=18-6t，
分兩種情況：
①當Q在線段CH上時，HQ=6-3t，

∵S_△AHP=4S_△AHQ，
∴$\frac{1}{2}$×AH×PG=4×$\frac{1}{2}$×AH×HQ，即PG=4HQ，
∴18-6t=4×（6-3t），
解得t=1，
此時HQ=6-3=3，
∴Q（3，-2$\sqrt{3}$）；
②當Q在線段BH上時，HQ=3t-6，

∵S_△AHP=4S_△AHQ，
∴$\frac{1}{2}$×AH×PG=4×$\frac{1}{2}$×AH×HQ，即PG=4HQ，
∴18-6t=4×（3t-6），
解得t=$\frac{7}{3}$，
此時，HQ=7-6=1，
∴Q（-1，-2$\sqrt{3}$），
綜上所述，當t=1時，S_△AHP=4S_△AHQ，Q（3，-2$\sqrt{3}$）；當t=$\frac{7}{3}$時，S_△AHP=4S_△AHQ，Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了非負數的性質，平行線的性質，相似三角形的判定與性質以及三角形的面積的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造平行線，運用分類討論思想進行計算求解．