Question

【題目】我們知道：三角形的三條角平分線交于一點，這個點稱為三角形的內心(三角形內切圓的圓心).現在規定：如果四邊形的四個角的角平分線交于一點，我們把這個點也成為“四邊形的內心”.

(1)試舉出一個有內心的四邊形.

(2)如圖1，已知點O是四邊形ABCD的內心，求證：AB+CD=AD+BC.

(3)如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°.O是△ABC的內心.若直線DE截邊AC、BC于點D.E，且O仍然是四邊形ABED的內心.這樣的直線DE可畫多少條?請在圖2中畫出一條符合條件的直線DE，并簡單說明作法.

(4)問題(3)中，若AC=3，BC=4，滿足條件的一條直線DE∥AB，求DE的長.

Answer 1

【答案】（1）菱形;（2）證明見解析;（3）無數條；畫圖，說明作法見解析；（4）DE=

【解析】

（1）根據菱形的每一條對角線平分一組對角，可得答案；

（2）根據內心是各角角平分線的交點，可得∠EAO=∠FAO，根據HL，可得Rt△AEO和Rt△AFO的關系，根據全等三角形的性質，可得AE與AF的關系，同理可得BF與BG，CG與CH，DH與DE的關系，根據等式的性質，可得答案；

（3）根據四邊形內心的意義，可得答案；

（4）根據勾股定理，可得AB的長，根據面積相等，可得CG的長，根據相似三角形的性質，可得方程，根據比例的性質，可得方程的解，可得答案．

解：（1）∵菱形的每一條對角線平分一組對角，

∴菱形是一個有內心的四邊形；

（2）作OE⊥AD于E，OF⊥AB與于F，CG⊥BC于G，OH⊥CD于H，則∠AEO=∠AFO=90°.

∵O是四邊形ABCD的內心，

∴∠EAO=∠FAO .

在Rt△AEO和Rt△AFO中，

∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL），

∴AE=AF，

同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，

∴AE+DE+BG+CG=AF+BF+CH+DH，

即：AD+BC=AB+CD；

（3）有無數條，

作△ABC的內切圓圓O，切AC、BC于M、N，在弧MN上取一點F，作過F點作圓O的切線，交AB于E，交AC于D，沿DE剪裁，

（4）作CG⊥AB與點G，

由勾股定理得：AB=，

∵，

∴CG=2.4，

設△ABC的內切圓的半徑為r，則r= (AC+BCAB)＝ (3+45)=1，

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∴DE＝．