Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：DE＝AD＋BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD－BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，試問：DE，AD，BE有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE＝BE－AD，證明見解析

【解析】

（1）利用垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，則根據互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根據等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根據“AAS”可判斷△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代換得到DE=AD+BE；
（2）與（1）證法類似可證出∠DAC=∠BCE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，從而有DE=CE-CD=AD-BE；
（3）與（1）證法類似可證出∠DAC=∠BCE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，于是有DE=CD-CE=BE-AD．

（1）證明：∵AD⊥MN,BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝90°

∴∠DAC＋∠DCA＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠ECB＋∠DCA＝90°

∴∠DAC＝∠ECB

在△ACD和△CBE中，

∵

∴△ACD≌△CBE(AAS)

∴CE＝AD, CD＝BE

∵DE＝CE＋CD

∴DE＝AD＋BE

（2）證明：與（1）一樣可證明△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE＝BE－AD．證明如下：

證明：證明：∵AD⊥MN,BE⊥MN

∴∠ADC＝∠CEB＝90°

∴∠DAC＋∠DCA＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠ECB＋∠DCA＝90°

∴∠DAC＝∠ECB

在△ACD和△CBE中，

∵

∴△ACD≌△CBE(AAS)

∴CE＝AD, CD＝BE

∴DE=CD-CE= BE-AD；