Question

【題目】（解決問題）如圖1，在中，，于點．點是邊上任意一點，過點作，，垂足分別為點，點．

（1）若，，則的面積是______，______．

（2）猜想線段，，的數量關系，并說明理由．

（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點是內任意一點，且，，，垂足分別為點，點，點，求的值．

（4）（拓展延伸）如圖3，將長方形沿折疊，使點落在點上，點落在點處，點為折痕上的任意一點，過點作，，垂足分別為點，點．若，，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）15，8；（2），見解析；（3）；（4）4

【解析】

解決問題（1）只需運用面積法：，即可解決問題；

（2）解法同（1）；

（3）連接、、，作于，由等邊三角形的性質得出，由勾股定理得出，得出的面積，由的面積的面積的面積的面積，即可得出答案；

（4）過點作，垂足為，易證，過點作，垂足為，由解決問題（1）可得，易證，，只需求出即可．

解：（1）∵，，，

∴的面積，

∵，，，

且，

∴，

∵，

∴.

故答案為：15，8.

（2）∵，，，

且，

∴，

∵，

∴.

（3）連接、、，作于，如圖2所示：

∵，

∴是等邊三角形，

∵，

∴，

∴，

∴的面積，

∵，，，

∴的面積的面積的面積的面積

，

∴.

（4）過點作，垂足為，如圖3所示：

∵四邊形是矩形，

∴，，

∵，，

∴，

由折疊可得：，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由解決問題（1）可得：，

∴，即的值為4.