Question

【題目】（教材呈現）

下圖是華師版九年級上冊數學教材第79頁的部分內容．

請根據教材內容，結合圖①，寫出完整的解題過程．

（結論應用）

（1）在圖①中，若AB=2，∠AOD=120°，則四邊形EFGH的面積為______．

（2）如圖②，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，O是其內任意一點，連接O與菱形ABCD各頂點，四邊形EFGH的頂點E、F、G、H分別在AO、BO、CO、DO上，EO=2AE，EF∥AB∥GH，且EF=GH，若△EFO與△GHO的面積和為，則菱形ABCD的周長為______．

Answer 1

【答案】 24．

【解析】

教材呈現：由矩形的性質得出OA=OB=OC=OD，再證出OE=OF=OG=OH，即可得出結論．

結論應用：（1）證明△OEF為等邊三角形，得出∠EFO=60°，可求出EF=1，EH=，則答案可求出；

（2）過點G作GN⊥EF于點N，由條件可知四邊形EFGH為平行四邊形，可得∠EFG=60°，設EF=x，則NG=，由△EFO與△GHO的面積和為4列出方程求出x，證明△OEF∽△OAB，可得，可求出AB的長．則答案可求出．

解：教材呈現：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴OA=OC=OB=OD．

∵AO，BO，CO，DO的中點E，F，G，H，

∴OE=OF=OG=OH，

∴四邊形EFGH是矩形．

∵EG=FH，

∴四邊形EFGH是矩形．

結論應用：

（1）∵AB=2，

∴EF=．

∵∠BAD=90°，

∴∠FEH=90°．

∵∠AOD=120°，

∴∠EOF=60°，

∴△OEF為等邊三角形，

∴∠EFO=60°，

∴，

∴四邊形EFGH的面積為1×．

故答案為：．

（2）過點G作GN⊥EF于點N，

∵EF∥GH，且EF=GH，

∴四邊形EFGH為平行四邊形，

∴FG∥BC．

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠EFG=60°，

設EF=x，則NG=．

∵△EFO與△GHO的面積和為4，

∴，

解得：x=4，∴EF=4．

∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，

∴．

∵EO=2AE，

∴，

∴AB=6，

∴菱形ABCD的周長為24．

故答案為：24．