Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC的中線，過點C作CE⊥BD于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取FG＝BD，連接BG、DF．

（1）求證：四邊形BDFG為菱形；

（2）若AG＝13，CF＝6，求四邊形BDFG的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20．

【解析】

（1）由BD=FG，BD//FG可得四邊形BDFG是平行四邊形，根據CE⊥BD可得∠CFA＝∠CED＝90°，根據直角三角形斜邊中線的性質可得BD=DF=AC，即可證得結論；

（2）設GF＝x，則AF＝13﹣x，AC＝2x，利用勾股定理列方程可求出x的值，進而可得答案．

（1）∵AG∥BD，BD＝FG，

∴四邊形BGFD是平行四邊形，

∵CF⊥BD，BD//AG，

∴∠CFA＝∠CED＝90°，

∵點D是AC中點，

∴DF＝AC，

∵∠ABC＝90°，BD為AC的中線，

∴BD＝AC，

∴BD＝DF，

∴平行四邊形BGFD是菱形．

（2）設GF＝x，則AF＝13﹣x，AC＝2x，

∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，

解得：x＝5，x＝﹣（舍去），

∵四邊形BDFG是菱形，

∴四邊形BDFG的周長＝4GF＝20．