Question

【題目】已知，如圖，是⊙的直徑，點為⊙上一點，于點，交⊙于點與交于點，點為的延長線上一點，且．

（1）試判斷直線與⊙的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙的半徑為，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由∠ABC=∠AEC，，得，進而得AB⊥BD，即可得到結論；

（2）連接BE，得∠AEB=90°，BE=6，易證BE~AEB，從而得，即可求解．

（1）直線與⊙相切，理由如下：

∵∠ABC與∠AEC是同弧所對的圓周角，

∴∠ABC=∠AEC，

∵，

∴，

∵，

∴∠ABC+∠BOD=∠ODB+∠BOD=90°，即：AB⊥BD，

∴直線是⊙的切線；

（2）連接BE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵⊙的半徑為，，

∴BE=，

∵，

∴，

∴∠A=∠EBH，

又∵∠BEH=∠AEB，

∴BE~AEB，

∴，即：，解得：=．