Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若拋物線交軸于點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使得的周長最小？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，當的周長最小時，點的坐標為．

【解析】

（1）直接利用待定系數求出二次函數解析式即可；
（2）首先求出直線BC的解析式，再利用軸對稱求最短路線的方法得出答案.

（1）拋物線與軸交于兩點

解得：

該拋物線的解析式為

（2）該拋物線的對稱軸上存在點，使得的周長最小．

如解圖所示，作點關于拋物線對稱軸的對稱點，連接，

交對稱軸于點，連接，

點關于拋物線對稱軸的對稱點，且，交對稱軸于點

，

的周長為，

為拋物線對稱軸上一點，

的周長，

當點處在解圖位置時，的周長最小．

在中，當時，，

，

，

拋物線的對稱軸為直線，

點是點關于拋物線對稱軸直線的對稱點，且．

設過點兩點的直線的解析式為：，

在直線上，

，解得：，

直線的解析式為：，

拋物線對稱軸為直線，且直線與拋物線對稱軸交于點，

在中，當時，，

，

在該拋物線的對稱軸上存在點，使得的周長最小，當的周長最小時，點的坐標為