Question

2．如圖①，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為邊BC的中點，射線DE⊥BC交AB于點E．點P從點D出發，沿射線DE以每秒1個單位長度的速度運動．以PD為斜邊，在射線DE的右側作等腰直角△DPQ．設點P的運動時間為t（秒）．

（1）用含t的代數式表示線段EP的長．
（2）求點Q落在邊AC上時t的值．
（3）當點Q在△ABC內部時，設△PDQ和△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進行討論：點P在線段DE上，點P在DE的延長線上，根據線段的和差關系進行計算；
（2）當點Q落在邊AC上時，過點Q作QF⊥DP于F，根據四邊形CDFQ是矩形，△DPQ是等腰直角三角形，求得DP=2FQ=8，即可得到t的值；
（3）分兩種情況進行討論：①當點P在線段DE上時，△PDQ和△ABC重疊部分為△DPQ，②當點P在線段DE的延長線上時，△PDQ和△ABC重疊部分為四邊形EDQG，分別求得S與t之間的函數關系式．

解答 解：（1）由題可得，DP=t，DE=$\frac{1}{2}$AC=3，
當點P在線段DE上時，EP=DE-DP=3-t；
當點P在DE的延長線上時，EP=DP-DE=t-3；

（2）如圖所示，當點Q落在邊AC上時，過點Q作QF⊥DP于F，

∵∠C=∠CDF=∠DFQ=90°，
∴四邊形CDFQ是矩形，
∴FQ=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵△DPQ是等腰直角三角形，
∴DP=2FQ=8，
∴t=$\frac{8}{1}$=8（s）；

（3）①當點P在線段DE上時，△PDQ和△ABC重疊部分為△DPQ，且DP=t，DP邊上的高為$\frac{1}{2}$t，

∵點P從點D運動到點E處時，時間為3s，
∴當0＜t≤3時，S=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{4}{t}^{2}$，
②當點P在線段DE的延長線上時，△PDQ和△ABC重疊部分為四邊形EDQG，
如圖所示，過G作GF⊥PE于F，則△GFE∽△BCA，且PF=GF，

∵AC=6，BC=8，
∴EF：FG=3：4，EF：FP=3：4，
∵PE=t-3，
∴FG=$\frac{4}{7}$（t-3），
∴△PEG的面積=$\frac{1}{2}$×PE×FG=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{7}$（t-3）²，
由（2）可知，點Q落在邊AC上時，t的值為8s，
∴當3≤t≤8時，S=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{7}$（t-3）²=-$\frac{1}{28}$t²+$\frac{12}{7}$t-$\frac{18}{7}$．
綜上所述，S與t之間的函數關系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-\frac{1}{28}{t}^{2}+\frac{12}{7}t-\frac{18}{7}（3≤t≤8）}\end{array}\right.$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質以及三角形面積的計算的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，解題時注意分類討論思想的運用．